|
|
Для выражения амплитуды
и фазы сигнала использует
алгебру комплексных чисел.
Комплексное число - это упорядоченная пара чисел имеющих определенные алгебраические свойства. Эту пару чисел мы изображаем точкой на плоскости x-y, причем координата x - это реальная часть, а координата y - мнимая часть комплексного числа. Каждая такая точка отстоит от начала координат на расстояние:
r = sqrt(x*x+y*y) - это модуль комплексного числа
кроме того комплексное число имеет аргумент - это угол между отрезком с концами в начале координат и в точке отображающей комплексное число на плоскости x-y и осью x.
arg(x,y)= phi = arctan (y/x) - аргумент комплексного числа
Переменный ток имеет амплитуду ( модуль ) и фазу ( аргумент ) - поэтому комплексные числа прекрасно подходят для его сложения, вычитания, умножения и деления.
Умножение и деление выполняются в полярных координатах с числами в комплексной форме (r,phi), а сложение и вычитание удобно производить над числами в форме (x,y). Импеданс преимущественно записывают в полярных координатах - (активное, реактивное) сопротивления.
Диаграмма Смита позволяет соотнести ком. число Гамма в любой точке линии к нормированному импедансу нагрузки (приемника) zL = ZL/Zo вызывающему отражение, а также расстояние в длинах волны до точки отражения.
-
"нормированный импеданс". Линия передачи имеет свойство называемое "характеристический импеданс" - Zo, он равен квадратному корню отношения погонной индуктивности (индуктивность одного метра линии) к погонной емкости (ёмкость одного метра линии).
Диаграмма Смита изображается в единицах безразмерного нормированного импеданса, т.е. действительный импеданс поделен на Zo - конкретной линии передачи. Поэтому мы можем на одной диаграмме оценить линии передачи с различными характеристическими импедансами. Гамма тоже безразмерное число - это упрощает математику и понятность представленных на диаграмме величин. Линии передачи с различными Zo будут вести себя одинаково на диаграмме так как их нормированный импеданс одинаков.
Мы можем считать на диаграмме нормированный импеданс z в точке P линии, где действительный импеданс - Zo равен отношению напряжения к току с учетом фаз и амплитуд. Этот импеданс "увидит" передатчик если обрезать линию в точке P и подсоединить оставшуюся линию с нагрузкой к выводам передатчика (источника сигнала).
Почему импеданс вдоль линии передачи меняется? Импеданс который мы измеряем - это полное напряжение в линии (сумма напряжений прямой и отраженной волн) деленное на полный ток в линии (аналогичная сумма).
Но в линии без потерь ток прямой волны находится в фазе с напряжением, а фаза напряжения обратной волны противоположна фазе тока. Посему величина импеданса зависит от того как далеко мы находимся от точки отражения.
 |
На рисунке видно что полное напряжение и полный ток имеют некоторую разность фаз - она зависит от положения точки измерения по длине линии.
Величина Гамма (отношение напряжения прямой волны к напряжению отраженной волны) у нагрузки может быть принята за исходный коэф. отражения и для определения Гамма на некотором расстоянии в длинах волны от нагрузки с учетом потерь, и умножая на фазовый фактор
exp -{j 2*360 *d/(lambda)} в градусах.
Т.е. если нам известны потери в линии на длину волны и коэф. отражения на конце линии - мы можем найти отношение амплитуды отраженной волны к амплитуде прямой волны в любой точке линии, вместе с информацией о разности фаз этих волн.
посмотреть рисунок крупнее (151 Kb)
На этой диаграмме нормализованное сопротивление нагрузки 0.3 + j 0.5 трансформируется на расстоянии 0.12 длины волны к генератору в 1.6 + j 1.7. Т.е. в коаксиальном кабеле с Zo = 75 ом на частоте 146 MHz, и факторе скорости 0.67, скорость волны будет 20 см за наносекунду и длина волны в кабеле будет :
20 * 1000/146 см = 1.37 метра
Следовательно, нагрузки с импедансом 22.5 + j 37.5 ом порождает импеданс кабеля, на расстоянии 137 * 0.12 = 16.4 см от нагрузки, равный 120 + j 127.5 ом. Мы видим сильное влияние даже небольшого (в длинах волны) отрезка кабеля.
Вот расчет - 22.5 = 75 * 0.3 и так далее.
Дык чтож такое SMITH CHART ?
Это изображение в полярных координатах
комплексного коэффициента отражения (называемого
Гамма), так же
известного как параметр s11:
z = r + jx
Нормализованный импеданс - комплексная безразмерная величина полученная делением действительного импеданса нагрузки ZL в омах на характеристический импеданс Zo (тоже в омах, для линий без потерь только реальная часть) линии.
Контур z = r + jx (безразмерная) нанесенный поверх коэф. отражения (комплексное Гамма или gamma) образуют два ортогональных набора пересекающихся окружностей.
Центр диаграммы - Гамма = 0 - здесь линия согласована, и нормализованный импеданс линии z=1+j0 - это активное сопротивление, реактивная составляющая равна нулю.
Комплексная переменная z = r + jx связана с числом Гамма :
1 + gamma
z = r+jx = -----------
1 - gamma
и соответственно обратное преобразование
z - 1 (r-1) + jx
gamma = -------- = ------------
z + 1 (r+1) + jx
На диаграмме мы можем для данного z - определить величину gamma, или определить z - для данного gamma. Модуль числа gamma, это расстояние от центра диаграммы, а фазовый угол - arg(gamma), это угол на диаграмме от положительного направления по оси - x. По периметру диаграммы есть шкала углов.
В линии без потерь волны распространяются без затухания - их амплитуду не изменяется. Т.е. модуль gamma, не зависит от положения на линии. Итак импеданс изменяется при движении вдоль линии начиная от импеданса нагрузки z = ZL/Zo и вычерчивает окружность постоянного радиуса равного модулю |gamma| в направлении к генератору. Шкала по периметру диаграммы имеет шаг в 0.01 длины волны. Таким образом мы можем определить входной импеданс нагруженной линии если знаем ее длину и длину волны распространяющейся по линии.
-
Обычно встречающаяся диаграмма Смита - это область ограниченная окружностью |gamma| = 1. Снаружи этой области отраженный сигнал превышает падающий сигнал. Это возможно только когда активное сопротивление отрицательно. Таким образом периметр диаграммы обычно круг с нулевым активным сопротивлением r = 0, это соответствует |gamma| = 1.
-
Окружность r = 1 проходит через центр диаграммы. Точка gamma = 1 угол = 0 это особая точка в которой r и x имеют множество значений.
-
На диаграмме представляются и импеданс и проводимость. Для использования диаграммы проводимости надо повернуть диаграмму на 180 градусов. Направления "к генератору" и "к нагрузке" остаются прежними. Контуры постоянного активного и постоянно реактивного сопротивлений теперь интерпретируются как постоянная нормализованная проводимость - g, и нормализованная реактивная проводимость - s (мнимая часть адмитанса).
-
Что бы понять это свойство диаграммы надо учесть, что проводимость - y это обратная величина импедансу - z (обе величины нормализованны). Выражение для преобразования следующее :
1 - gamma y = g+js = ------------ 1 + gamma
- График проводимостей полезен для шунтирующих элементов - подключаемых параллельно линии или нагрузке.
Почему диаграмма размечена лишь
на половину длины волны в
линии?
Мы помним, что диаграмма Смита это выполненный в полярных координатах график комплексного коэф. отражения - являющегося отношением комплексных амплитуд отраженной и падающих волн.
Представьте прямую волну идущую от вас к нагрузке, затем возвращающуюся опять к вам в виде отраженной волны. Полное изменение фазы по дороге туда и обратно составит удвоенную величину изменения фазы на дороге до нагрузки. Таким образом на длине линии в пол длины волны изменение фазы между падающей и отраженной волнами составит 360 градусов - поэтому на диаграмме достаточно изобразить лишь половину длины волны в линии.
Точность диаграммы
Пусть шкала углов имеет деление по 1/500 длины волны
или 0.72 градуса, а шкала коэффициентов отражения читается с
точностью 0.02. Этой точности обычно достаточно. На
частоте 1 GHz в коаксильном кабеле длина волны около 20 см,
Диаграмма определяет положение на линии с точностью 20/500 =
0.4 мм - вполне нормальная точность.
Увеличив размер диаграммы можно легко повысить точность. Практически достаточно трех значащих цифр в коэф. отражения и точности в определении углов 1 градус.
Основные преимущества
диаграммы.
Several other graphical transmission line calculators have been proposed. The SMITH chart is particularly elegant for the following reasons.
-
Это прямое представление на комплексной плоскости комплексного коэф. отражения.
-
Это поверхность Рейманна, циклически повторяющая половинки длин волн вдоль линии. Волновая картина полностью определяется на отрезке в пол волны.
-
Может использоваться как калькулятор импедансов или проводимостей - достаточно лишь перевернуть диаграмму на 180 градусов.
-
Внутри окружности gamma = 1 - показывает случай пассивного отражения - наиболее распространенный.
-
Изменения вдоль линии (случай без потерь) отражаются изменением угла, но модуль или Гамма неизменны. Таким образом чертеж легко выполним.
-
Большинство основных свойств ВЧ схем, уровень шумов или область устойчивости, отображаются на диаграмме в виде окружностей.
-
"Точка неопределенности" представляет собой предел очень большого усиления отраженной волны и таким образом не рассматривается в практических схемах.
-
Реальная ось отмечает КСВ -коэф. стоячей волны. Простой перенос центра линии на реальную ось постоянным радиусом дает значение КСВ.
Этот список не является исчерпывающим.
Очень хорошие статьи о Диаграмме Смита были опубликованны в UK magazine "Wireless World" в Январе Феврале и марте 1960, автор R.A Hickson из копании Belling and Lee Company Ltd. В форме для печати это 16 страниц. РЕКОМЕНДУЮ.
Некоторые Линки по теме SMITH chart:
- Postscript SMITH charts and tools.
- GIF and Postscript SMITH charts DJJ site..
- http://www.educatorscorner.com/experiments/spectral/SpecAn9.html
- http://www.ee.surrey.ac.uk/Personal/D.Jefferies/transmission.html
Эта статья - расширенная версия страницы - David Jefferies http://www.ee.surrey.ac.uk/Personal/D.Jefferies/smith.html
Dr. David J. Jefferies
School of Electronic Engineering, Information Technology and Mathematics
University of Surrey
Guildford GU2 7XH
Surrey
England